柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是线性代数中的一个基本不等式，用于描述两个向量的点积和这两个向量的长度之间的关系。它是由德国数学家赫尔曼·阿曼·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）和法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）在19世纪独立发现的。

柯西-施瓦茨不等式的形式如下：

对于任意向量 a 和 b，有

∥a⋅b∥≤∥a∥∥b∥

其中，“⋅”表示点积，“||”表示向量的长度（或范数）。这个不等式说明了两个向量的点积的绝对值不会超过这两个向量的长度乘积。

这个不等式在线性代数、概率论和许多其他数学领域中都有着广泛的应用。

根据柯西 - 施瓦茨不等式 (3)，可以得出以下事实。

  1. 当两个向量方向相反时，内积取得最小值。
  2. 当两个向量不平行时，内积取平行时的中间值。
  3. 当两个向量方向相同时，内积取得最大值。

性质1就是梯度下降法的基本原理。

本文作者：Maeiee

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