链式法则

链式法则（Chain Rule）是微积分中的一个重要定理，用于计算复合函数的导数。当一个函数是由多个函数复合而成时，链式法则可以帮助我们找到这个复合函数相对于其自变量的导数。链式法则在单变量和多变量函数的微分中都有应用。

对于单变量函数，链式法则的定义如下：

假设有两个函数 $y = g (u)$ 和 $u = f (x)$ ，则它们的复合函数为 $y = g (f (x))$ 。根据链式法则，复合函数 $y$ 相对于 $x$ 的导数为：

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

其中， $\frac{d y}{d u}$ 是函数 $g (u)$ 相对于 $u$ 的导数， $\frac{d u}{d x}$ 是函数 $f (x)$ 相对于 $x$ 的导数。

对于多变量函数，链式法则的形式更为复杂。假设有一个多元函数 $z = g (u, v)$ ，其中 $u = f (x, y)$ 和 $v = h (x, y)$ 。根据链式法则，复合函数 $z$ 相对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数为：

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}

在神经网络和深度学习中，链式法则在计算梯度时起着关键作用，尤其是在反向传播算法中。通过应用链式法则，我们可以有效地计算损失函数相对于网络中每个参数的梯度，从而实现模型的优化。

本文作者：Maeiee

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